1. Фундаментальні фізичні та фізико-хімічні сталі (редакція СІ / CODATA)
З 20 травня 2019 року визначення всіх семи основних одиниць СІ (секунди с, метра м, кілограма кг, ампера А, кельвіна К, моля моль і кандели кд) зафіксовані через точні числові значення швидкості світла у вакуумі c, сталої Планка h, елементарного електричного заряду e, сталої Больцмана k_B та сталої Авогадро N_A. Завдяки цьому зазначені константи в системі СІ не мають експериментальної невизначеності.
| Фізична стала | Позначення | Чисельне значення у системі СІ | Примітка |
|---|---|---|---|
| Швидкість світла у вакуумі | c |
299 792 458 м/с |
Точне визначальне значення СІ |
| Стала Планка та зведена стала Дірака | h, ℏ = h/(2π) |
6.626 070 15 × 10⁻³⁴ Дж·с, 1.054 571 817 × 10⁻³⁴ Дж·с |
Точне визначальне значення СІ |
| Елементарний електричний заряд | e |
1.602 176 634 × 10⁻¹⁹ Кл |
Точне визначальне значення СІ |
| Стала Больцмана | k_B |
1.380 649 × 10⁻²³ Дж/К |
Точне визначальне значення СІ |
| Стала Авогадро | N_A |
6.022 140 76 × 10²³ моль⁻¹ |
Точне визначальне значення СІ |
| Універсальна газова стала | R = N_A k_B |
8.314 462 618 Дж/(моль·К) |
Добуток точних сталих |
| Стала Фарадея | F = N_A e |
96 485.332 12 Кл/моль |
Заряд одного моля одновалентних іонів |
| Гравітаційна стала Ньютона | G |
6.674 30 × 10⁻¹¹ Н·м²/кг² |
Відносна похибка 2.2 × 10⁻⁵ |
| Електрична та магнітна сталі вакууму | ε₀, μ₀ |
8.854 187 81 × 10⁻¹² Ф/м, 1.256 637 06 × 10⁻⁶ Гн/м |
З'зані тотожністю ε₀μ₀c² = 1 |
| Маси спокою електрона та протона | m_e, m_p |
9.109 383 7 × 10⁻³¹ кг, 1.672 621 9 × 10⁻²⁷ кг |
Відношення m_p / m_e ≈ 1836.15 |
| Стандартне прискорення вільного падіння | g_n |
9.806 65 м/с² (у навчальних задачах 9.81 м/с²) |
Конвенційне значення на рівні моря |
| Молярний о'м ідеального газу за н. у. | V_m |
22.413 969 л/моль (при 273.15 К і 101.325 кПа) |
При 100 кПа (STP ІЮПАК): 22.711 л/моль |
2. Розмірність основних похідних величин та перевірка однорідності формул
Будь-яке фізично коректне аналітичне співвідношення мусить бути розмірнісно однорідним: ліва й права частини рівняння, а також усі доданки алгебраїчної суми мають однакову розмірність через основні одиниці L (довжина), M (маса), T (час), I (сила струму), Θ (температура) і N (кількість речовини). Аргументи трансцендентних функцій (експоненти exp(x), логарифмів ln x, тригонометричних функцій sin x, cos x) завжди є строго безрозмірними комбінаціями, як-от показник Арреніуса −E_a / (RT) або фаза біжучої хвилі (kx − ωt).
| Похідна величина та одиниця СІ | Символ | Вираз через інші одиниці | Вираз через основні одиниці СІ |
|---|---|---|---|
| Сила (ньютон) | Н |
кг·м/с² |
м·кг·с⁻² |
| Тиск і механічна напруга (паскаль) | Па |
Н/м² = Дж/м³ |
м⁻¹·кг·с⁻² |
| Енергія, робота, кількість теплоти (джоуль) | Дж |
Н·м = Кл·В = Вт·с |
м²·кг·с⁻² |
| Потужність і потік енергії (ват) | Вт |
Дж/с = В·А |
м²·кг·с⁻³ |
| Електрична напруга, потенціал, ЕРС (вольт) | В |
Дж/Кл = Вт/А |
м²·кг·с⁻³·А⁻¹ |
| Електрична ємність (фарад) | Ф |
Кл/В |
м⁻²·кг⁻¹·с⁴·А² |
| Магнітна індукція (тесла) | Тл |
Вб/м² = Н/(А·м) |
кг·с⁻²·А⁻¹ |
3. Оцінювання похибок прямих і непрямих лабораторних вимірювань
Для серії з n незалежних прямих вимірювань величини x₁, x₂, ..., x_n найкращою незміщеною оцінкою істинного значення є середнє арифметичне ⟨x⟩ = (1/n) ∑ xᵢ, а середньоквадратичне відхилення середнього обчислюється за формулою Бесселя s_{⟨x⟩} = √[ ∑(xᵢ − ⟨x⟩)² / (n(n − 1)) ]. Повна абсолютна похибка поєднує випадкову складову (множник Стьюдента t_{α, n−1}) та приладову похибку шкали Δ_прил: Δx = √[(t_{α,n−1} s_{⟨x⟩})² + Δ_прил²].
Якщо шукана величина обчислюється непрямо за степеневою формулою виду Y = C · x^a · y^b / z^c, відносна похибка результату ε_Y = ΔY / |Y| у лінійному наближенні для незалежних вхідних величин визначається квадратичним додаванням зважених відносних похибок:
ε_Y = ΔY / Y = √[ (a · Δx / x)² + (b · Δy / y)² + (c · Δz / z)² ]
4. Приклад розрахунку похибки непрямого вимірювання
Задача. Визначення прискорення вільного падіння за допомогою математичного маятника
Під час лабораторної роботи довжина нитки математичного маятника виміряна міліметровою лінійкою і становить L = 0.995 ± 0.002 м, а час N = 50 повних коливань за секундоміром дорівнює t = 100.1 ± 0.3 с. Обчисліть експериментальне значення g та його абсолютну й відносну похибки.
Роз'зання. Період одного коливання становить T = t / N = 100.1 / 50 = 2.002 с, а відносна похибка періоду збігається з відносною похибкою повного часу: ΔT / T = Δt / t = 0.3 / 100.1 = 0.0030 (0.30 %). Із формули Гюйгенса T = 2π√(L / g) виражаємо g = 4π²L / T². Підстановка середніх значень дає g = 4 · (3.14159)² · 0.995 / (2.002)² = 39.281 / 4.0080 = 9.801 м/с². Відносна похибка довжини становить ΔL / L = 0.002 / 0.995 = 0.0020 (0.20 %). Оскільки період входить у квадраті (b = 2), його внесок подвоюється: ε_g = √[ (0.0020)² + (2 · 0.0030)² ] = √[ 4×10⁻⁶ + 36×10⁻⁶ ] = √(40×10⁻⁶) ≈ 0.0063 (0.63 %). Абсолютна похибка становить Δg = 9.801 · 0.0063 ≈ 0.06 м/с².
Відповідь. g = (9.80 ± 0.06) м/с² (відносна похибка 0.63 %).
Перевірка рівнянь у тривимірній віртуальній лабораторії
Кожну розглянуту вище залежність можна дослідити в інтерактивній 3D-установці зі змінними параметрами, векторами сил і друкованим протоколом вимірювань: