1. Заломлення, інтерференція, дифракція та поляризація світлових хвиль
Світло є поперечною електромагнітною хвилею, у якій вектори напруженості електричного поля E та магнітної індукції B коливаються у взаємно перпендикулярних площинах і ортогональні до хвильового вектора k. При переході монохроматичної хвилі з вакууму в прозорий діелектрик з абсолютним показником заломлення n = √(εμ) частота коливань ν залишається незмінною, а фазова швидкість v = c / n і довжина хвилі λ = λ₀ / n зменшуються в n разів, що геометрично зумовлює закон заломлення Снеліуса n₁ sin α = n₂ sin γ.
Накладання двох когерентних світлових пучків у схемі Юнга з відстанню між щілинами d та базою до екрана L ≫ d формує стаціонарний перерозподіл інтенсивності. Конструктивні максимуми виникають при оптичній різниці ходу, кратній цілому числу довжин хвиль (Δ = d sin θ = mλ), а ширина сусідніх інтерференційних смуг дорівнює Δy = λL / d. При проходженні плоского фронту крізь поодиноку щілину шириною a дифракційні мінімуми Фраунгофера спостерігаються під кутами a sin θ = ±mλ (m = 1, 2, ...). Поперечність світлової хвилі доводиться законом Малюса: після проходження лінійно поляризованого променя інтенсивністю I₀ крізь аналізатор, повернутий на кут θ, інтенсивність змінюється за законом I(θ) = I₀ cos² θ.
2. Рух зарядів у магнітному полі, індукція Фарадея та коливальний контур
На частинку із зарядом q і масою m, що влітає зі швидкістю v під кутом α до ліній однорідного магнітного поля індукцією B, діє сила Лоренца F_L = q[v × B]. Оскільки ця сила завжди перпендикулярна до швидкості, вона не виконує механічної роботи і не змінює кінетичної енергії частинки, але викривляє її траєкторію у гвинтову лінію з ларморівським радіусом R = mv sin α / (|q|B) та періодом обертання T = 2πm / (|q|B), який не залежить від швидкості нерелятивістського іона.
Закон електромагнітної індукції Фарадея з урахуванням правила Ленца встановлює, що змінний магнітний потік Φ = ∫ B·dS крізь замкнений контур із N витків збуджує електрорушійну силу індукції ℰ_i = −N (dΦ / dt). У коливальному контурі з індуктивністю L та ємністю C відбувається періодичний обмін між енергією електричного поля конденсатора W_E = q² / (2C) та енергією магнітного поля котушки W_B = Li² / 2 із власною круговою частотою Томсона ω₀ = 1 / √(LC).
3. Квантова природа випромінювання: фотоефект, ефект Комптона і атом Бора
Згідно з гіпотезою Планка-Ейнштейна електромагнітне випромінювання частотою ν поглинається й розсіюється дискретними квантами з енергією E = hν = hc / λ та релятивістським імпульсом p = h / λ, де h = 6.62607 × 10⁻³⁴ Дж·с. Під час зовнішнього фотоефекту енергія поглинутого фотона витрачається на роботу виходу електрона з металу A_вих і надання йому максимальної кінетичної енергії, яку вимірюють затримуючим потенціалом U_з:
hc / λ = A_вих + eU_з, λ_черв = hc / A_вих
Пружне розсіяння жорстких рентгенівських фотонів на вільних електронах речовини супроводжується збільшенням довжини хвилі розсіяного кванта за формулою Комптона Δλ = λ' − λ = λ_C(1 − cos θ), де комптонівська довжина хвилі електрона становить λ_C = h / (m_e c) = 2.426 пм. У напівкласичній моделі атома водню Нільса Бора стаціонарні колові орбіти задовольняють умову стоячої хвилі де Бройля 2πr_n = nλ_дБ, що еквівалентно квантуванню моменту імпульсу m_e v_n r_n = nℏ та дискретному спектру енергетичних рівнів E_n = −13.606 еВ / n².
| Явище хвильової чи квантової фізики | Розрахункове рівняння | Ключова константа або умова застосовності |
|---|---|---|
| Інтерференція Юнга на двох щілинах | Δy = λL / d, d sin θ = mλ |
Когерентні джерела, L ≫ d ≫ λ |
| Закон поляризації Малюса та кут Брюстера | I = I₀ cos² θ, tg θ_B = n₂ / n₁ |
Поперечні електромагнітні хвилі |
| ЕРС індукції Фарадея і трансформатор | ℰ_i = −N dΦ/dt, U₂ / U₁ ≈ N₂ / N₁ |
Замкнене феромагнітне осердя змінного струму |
| Рівняння Ейнштейна для фотоефекту | hν = A_вих + ½m_e v_max² = A_вих + eU_з |
Поріг ν ≥ ν_min = A_вих / h |
| Спектральна формула Рідберга для атома H | 1 / λ = R_∞ (1 / k² − 1 / n²), n > k |
Стала Рідберга R_∞ = 1.09737 × 10⁷ м⁻¹ |
4. Приклади роз'зування розрахункових задач
Задача 1. Затримуючий потенціал при опроміненні цезієвого фотокатода
Цезієвий фотокатод із роботою виходу A_вих = 1.94 еВ освітлюють монохроматичним фіолетовим світлом із довжиною хвилі λ = 400 нм. Визначте червону межу фотоефекту λ_черв для цезію та затримуючу напругу U_з, за якої фотострум повністю припиняється.
Роз'зання. Використаємо зручну енергетичну константу добутку hc = 1239.8 еВ·нм. Червона межа фотоефекту становить λ_черв = hc / A_вих = 1239.8 / 1.94 = 639 нм (помаранчево-червона ділянка спектра). Енергія одного падаючого фотона з довжиною хвилі 400 нм дорівнює E_ф = 1239.8 / 400 = 3.10 еВ. Максимальна кінетична енергія фотоелектронів становить E_k,max = 3.10 − 1.94 = 1.16 еВ, звідки затримуючий потенціал чисельно дорівнює U_з = E_k,max / e = 1.16 В.
Відповідь. λ_черв = 639 нм, U_з = 1.16 В.
Задача 2. Циклотронний радіус протона в однорідному магнітному полі
Протон (m_p = 1.673 × 10⁻²⁷ кг, q = 1.602 × 10⁻¹⁹ Кл), прискорений із стану спокою різницею потенціалів U = 2.00 кВ, влітає перпендикулярно до силових ліній однорідного магнітного поля з індукцією B = 0.250 Тл. Знайдіть швидкість протона та радіус кола його траєкторії.
Роз'зання. Із закону збереження енергії під час електростатичного прискорення ½m_p v² = qU знаходимо швидкість: v = √(2qU / m_p) = √(2 · 1.602×10⁻¹⁹ · 2000 / 1.673×10⁻²⁷) = √(3.830×10¹¹) ≈ 6.19 × 10⁵ м/с. Оскільки кут вльоту становить α = 90°, радіус ларморівського кола дорівнює R = m_p v / (qB) = (1.673×10⁻²⁷ · 6.19×10⁵) / (1.602×10⁻¹⁹ · 0.250) = 1.036×10⁻²¹ / 4.005×10⁻²⁰ = 0.0259 м = 25.9 мм.
Відповідь. v = 6.19 × 10⁵ м/с, R = 25.9 мм.
Перевірка рівнянь у тривимірній віртуальній лабораторії
Кожну розглянуту вище залежність можна дослідити в інтерактивній 3D-установці зі змінними параметрами, векторами сил і друкованим протоколом вимірювань: